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    P5979 [PA2014]Druzyny dp 分治 線段樹 分類討論 啟發式合并

    時間:2020-07-28 22:54:01      閱讀:37      評論:0      收藏:0      [點我收藏+]

    標簽:register   mes   end   怎么   freopen   std   details   its   lib   

    LINK:Druzyny

    這題研究了一下午 終于搞懂了.

    \(n^2\)的dp很容易得到.

    考慮優化.又有大于的限制又有小于的限制這個非常難處理.

    不過可以得到在限制人數上界的情況下能轉移到的最遠端點 且這個數組是單調的.

    而下界是隨意的.

    這個可以利用單調隊列做 也可以暴力線段樹.

    然后考慮怎么優化 考慮CDQ分治 不過這里算是基于時間的分治吧.

    大體上就是求出來左邊讓左邊對右邊進行貢獻.

    考慮這部分怎么做 左邊為 \([l,mid]\)右邊為\(mid+1,r\) 分別設兩個決策\(j,i\)分屬這兩個集合.

    容易得到\(left_i\leq j,C_{j+1,i}\leq i-j\)后者的限制條件還是需要暴力轉移.

    考慮對最大值進行分治 即對笛卡爾樹上每個節點進行分治 這樣C的條件就很明朗了.

    設分治中心為x 那么左區間為\(l,x-1\)右區間為\(x,r\)

    剛才的條件就變成了\(left_i\leq j,C_x\leq i-j\)

    考慮右邊區間小的話就暴力掃右邊區間 算出對應左區間 然后線段樹上查區間最大值.

    左邊小的話 暴力搜啊左邊二分出\(left\)的合法端點 算出對應右區間 然后線段樹上區間修改.

    可以發現上述暴力掃的過程類似啟發式合并 這樣復雜度為\(nlog^2n\)還不足以通過此題.

    正解是分類討論了幾種情況:

    首先我們知道 對于\(left_i\)是單調遞增的 根據這個\(left_i\)可以劃分三個區間.

    分別為\(left_i<l,l<=left_i<x,x=<left_i\)

    第三個可以忽略 第二個考慮這是一個橫跨分治中心的 且在分治區間中的.

    每個i最多在一個分治區間中會發生這種情況.這個部分可以線段樹暴力查區間最大值.所以復雜度為\(nlogn\)

    考慮第三種情況 這種情況下.

    繼續分類討論考慮左邊大還是右邊大.

    右邊大的話 左邊暴力掃 分兩種情況 一種是 \(i<x+C_x\)這種情況可以在暴力掃的時候更新.一種是\(i>=x+C_x\)這種可以等右邊掃完線段樹區間修改.

    前者啟發式合并\(nlogn\) 后者每個節點處至多進行一次復雜度\(nlogn\)

    左邊大的話 右邊暴力掃 先對右邊最近節點掃到的j即\(i-C_x\)這個位置之前的位置線段樹求max.然后再掃不斷進行更新.

    前者每個節點至多進行一次 復雜度\(nlogn\) 后者還是啟發式合并\(nlogn\)

    還有就是當前區間分成三段的節點可以二分.

    這樣總復雜度為\(nlogn\) 可以通過本題.

    非常妙的分類討論.

    code
    //#include<bits/stdc++.h>
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<ctime>
    #include<cctype>
    #include<queue>
    #include<deque>
    #include<stack>
    #include<iostream>
    #include<iomanip>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<string>
    #include<ctime>
    #include<cmath>
    #include<cctype>
    #include<cstdlib>
    #include<queue>
    #include<deque>
    #include<stack>
    #include<vector>
    #include<algorithm>
    #include<utility>
    #include<bitset>
    #include<set>
    #include<map>
    #define ll long long
    #define db double
    #define INF 1000000000
    #define inf 100000000000000000ll
    #define ldb long double
    #define pb push_back
    #define put_(x) printf("%d ",x);
    #define get(x) x=read()
    #define gt(x) scanf("%d",&x)
    #define gi(x) scanf("%lf",&x)
    #define put(x) printf("%d\n",x)
    #define putl(x) printf("%lld\n",x)
    #define rep(p,n,i) for(RE int i=p;i<=n;++i)
    #define go(x) for(int i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]])
    #define fep(n,p,i) for(RE int i=n;i>=p;--i)
    #define vep(p,n,i) for(RE int i=p;i<n;++i)
    #define pii pair<int,int>
    #define mk make_pair
    #define RE register
    #define P 1000000007ll
    #define gf(x) scanf("%lf",&x)
    #define pf(x) ((x)*(x))
    #define uint unsigned long long
    #define ui unsigned
    #define EPS 1e-10
    #define sq sqrt
    #define S second
    #define F first
    #define mod 1000000007
    #define id(i,j) ((i+j)|(i!=j))
    #define max(x,y) ((x)<(y)?y:x)
    using namespace std;
    char *fs,*ft,buf[1<<15];
    inline char gc()
    {
    	return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
    }
    inline int read()
    {
    	RE int x=0,f=1;RE char ch=gc();
    	while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=gc();}
    	while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=gc();}
    	return x*f;
    }
    const int MAXN=1000010;
    int n,top,rt;
    int c[MAXN],d[MAXN];
    int le[MAXN],s[MAXN];
    int ls[MAXN],rs[MAXN];
    struct wy
    {
    	int v,cnt;
    	wy(){v=-INF;cnt=0;}
    	wy(int _v,int _cnt){v=_v;cnt=_cnt;}
    	inline friend wy operator +(wy a,wy b)
    	{
    		if(a.v==-INF)return b;
    		if(b.v==-INF)return a;
    		if(a.v>b.v)return a;
    		if(b.v>a.v)return b;
    		return wy(a.v,a.cnt+b.cnt>=mod?a.cnt+b.cnt-mod:a.cnt+b.cnt);
    	}
    }cc;
    inline wy calc(wy b)	
    {
    	return b.v==-INF?b:wy(b.v+1,b.cnt);
    }
    wy tag[MAXN<<1],mx[MAXN<<1],f[MAXN];
    inline void build()
    {
    	top=0;
    	rep(1,n,i)
    	{
    		int now=0;
    		while(top&&c[s[top]]<=c[i])rs[s[top]]=now,now=s[top--];
    		s[++top]=i;ls[i]=now;
    	}
    	rt=s[1];
    	while(top>1)rs[s[top-1]]=s[top],--top;
    }
    inline void pushdown(int l,int r)
    {
    	int mid=(l+r)>>1;
    	int ww=id(l,r),w1=id(l,mid),w2=id(mid+1,r);
    	tag[w1]=tag[w1]+tag[ww];
    	mx[w1]=mx[w1]+tag[ww];
    	tag[w2]=tag[w2]+tag[ww];
    	mx[w2]=mx[w2]+tag[ww];
    	tag[ww]=f[n+1];
    }
    inline wy ask(int l,int r,int L,int R)
    {
    	if(L>R)return f[n+1];
    	if(L<=l&&R>=r)return mx[id(l,r)];
    	int mid=(l+r)>>1;
    	if(tag[id(l,r)].v>=0)pushdown(l,r);
    	if(R<=mid)return ask(l,mid,L,R);
    	if(L>mid)return ask(mid+1,r,L,R);
    	return ask(l,mid,L,R)+ask(mid+1,r,L,R);
    }
    inline void modify(int l,int r,int L,int R)
    {
    	if(L>R)return;
    	if(L<=l&&R>=r)
    	{
    		int ww=id(l,r);
    		mx[ww]=mx[ww]+cc;
    		tag[ww]=tag[ww]+cc;
    		return;
    	}
    	int mid=(l+r)>>1;
    	if(tag[id(l,r)].v>=0)pushdown(l,r);
    	if(R<=mid)modify(l,mid,L,R);
    	else 
    	{
    		if(L>mid)modify(mid+1,r,L,R);
    		else modify(l,mid,L,R),modify(mid+1,r,L,R);
    	}
    	mx[id(l,r)]=mx[id(l,mid)]+mx[id(mid+1,r)];
    }
    inline void solve(int l,int r,int x)
    {
    	if(l==r)
    	{
    		cc=f[l];modify(0,n,l,r);
    		f[l]=ask(0,n,l,r);
    		return;
    	}
    	solve(l,x-1,ls[x]);
    	int p=lower_bound(le+x,le+r+1,l)-le;
    	int q=lower_bound(le+x,le+r+1,x)-le;
    	if(x-l<r-x+1)
    	{
    		wy ww;
    		vep(l,x,i)
    		{
    			ww=ww+f[i];
    			if(i+c[x]>=x&&i+c[x]<p)
    				f[i+c[x]]=f[i+c[x]]+calc(ww);
    		}
    		cc=calc(ww);modify(0,n,x+c[x],p-1);
    	}
    	else
    	{
    		wy ww=ask(0,n,l,x-c[x]-1);
    		vep(x,p,i)
    		{
    			if(i-c[x]>=l&&i-c[x]<x)ww=ww+f[i-c[x]];
    			f[i]=f[i]+calc(ww);
    		}
    	}
    	vep(p,q,i)f[i]=f[i]+calc(ask(0,n,le[i],min(x-1,i-c[x])));
    	solve(x,r,rs[x]);
    }
    int main()
    {
    	//freopen("1.in","r",stdin);
    	get(n);
    	rep(1,n,i)get(c[i]),get(d[i]);
    	int h=1,t=0;
    	rep(1,n,i)
    	{
    		le[i]=le[i-1];
    		while(h<=t&&d[i]<=d[s[t]])--t;
    		s[++t]=i;
    		while(i-le[i]>d[s[h]])
    		{
    			++le[i];
    			if(le[i]>=s[h])++h;
    		}
    		//cout<<le[i]<<endl;
    	}
    	build();f[0]=wy(0,1);
    	solve(0,n,rt);
    	if(f[n].v==-INF)puts("NIE");
    	else printf("%d %d\n",f[n].v,f[n].cnt);
    	return 0;
    }
    

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